Ham-Sandwich Theorem

Ham-sandwich theorem は, \(\R ^n\) の中の \(n\) 個の measurable subsets が与えられたとき, それらを2等分する hyperplane が存在するという定理であり, 組み合せ論や discrete geometry などに様々な応用がある。

古典的な ham-sandwich theorem については, まずは Wikipedia の記事を見るのがよいかもしれない。

様々な一般化が考えられている。Polynomial ham-sandwich theorem やその一般化など。Guth と Katz [GK] は, Stone と Tukey の [ST42] や Guth の [Gut10] を参照している。

• polynomial ham-sandwich theorem

Simon [Sim] は equivariant 版を考えている。群は \(S^0\), \(S^1\), \(S^3\) の部分群の場合だけであるが。

References

[GK]

Larry Guth and Nets Hawk Katz. On the Erdos distinct distance problem in the plane. arXiv: 1011.4105.

[Gut10]

Larry Guth. “The endpoint case of the Bennett-Carbery-Tao multilinear Kakeya conjecture”. In: Acta Math. 205.2 (2010), pp. 263–286. arXiv: 0811.2251. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11511-010-0055-6.

[Sim]

Steven Simon. Equivariant Equipartitions: Ham Sandwich Theorems for Finite Subgroups of Spheres. arXiv: 1109.0721.

[ST42]

A. H. Stone and J. W. Tukey. “Generalized “sandwich” theorems”. In: Duke Math. J. 9 (1942), pp. 356–359.