Geometric Group Theory

Lück の survey [Lüc08] にあるように, 何を geometric group theory と呼ぶかははっきりしないようであるが, Lückは有限生成 離散群 の Cayley graph を word metric により 距離空間 とみなし, その幾何学的構造を調べることにより群の性質を得るという手法を, geometric group theory と呼んでいる。これは Gromov のアイデア [Gro93] なのだろうか。

• Cayley graph

Bestvina の Gromov hyperbolic space への群作用に関する survey [Bes23] によると “geometric group theory” という言葉は, Niblo と Roller が organize した conference [NR93a; NR93b] のタイトルになって一般的になったようである。 それ以前にも使われることはあったようであるが。

Lück の survey では, 基本的な事実の証明については, Bridson と Haefliger の本 [BH99] が参照されている。

距離が定義されているということは, 距離空間の不変量を, 群の不変量として用いることができるということである。例えば次元など。

• 距離空間の各種次元
• quasi-isometry
• expander

解析的な道具もよく使われるようである。 測度を用いた measure equivalence という同値関係もある。 \(C^*\)-algebra を用いた rapid decay property という性質もある。

• measure equivalence
• orbit equivalence
• rapid decay property

Kida の [Kid08] では, mapping class group の measure equivalence が考えられている。同じく mapping class group についてであるが, rapid decay property を証明しているのは Behrstock と Minsky [BM11] である。

有限生成とは限らない可算群に対してそのアイデアを拡張しようということも, 行われている。Higes の [Hig; BHZ10] の Introduction に, いくつか文献があげられている。

References

[Bes23]

Mladen Bestvina. “Groups acting on hyperbolic spaces—a survey”. In: ICM—International Congress of Mathematicians. Vol. 2. Plenary lectures. EMS Press, Berlin, [2023] ©2023, pp. 678–711. arXiv: 2206.12916.

[BH99]

Martin R. Bridson and André Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. Vol. 319. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Berlin: Springer-Verlag, 1999, pp. xxii+643. isbn: 3-540-64324-9.

[BHZ10]

T. Banakh, J. Higes, and I. Zarichnyi. “The coarse classification of countable abelian groups”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 362.9 (2010), pp. 4755–4780. arXiv: 0807.1141. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-10-05118-4.

[BM11]

Jason A. Behrstock and Yair N. Minsky. “Centroids and the rapid decay property in mapping class groups”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 84.3 (2011), pp. 765–784. arXiv: 0810.1969. url: https://doi.org/10.1112/jlms/jdr027.

[Gro93]

M. Gromov. “Asymptotic invariants of infinite groups”. In: Geometric group theory, Vol. 2 (Sussex, 1991). Vol. 182. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993, pp. 1–295.

[Hig]

J. Higes. A coarse classification of countable abelian groups. arXiv: 0803.0379.

[Kid08]

Yoshikata Kida. “The mapping class group from the viewpoint of measure equivalence theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 196.916 (2008), pp. viii+190. arXiv: math/0512230. url: https://doi.org/10.1090/memo/0916.

[Lüc08]

Wolfgang Lück. “Survey on geometric group theory”. In: Münster J. Math. 1 (2008), pp. 73–108. arXiv: 0806.3771.

[NR93a]

Graham A. Niblo and Martin A. Roller, eds. Geometric Group Theory. Vol. 181. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, 1993, p. 224. isbn: 9780521435291.

[NR93b]

Graham A. Niblo and Martin A. Roller, eds. Geometric Group Theory. Vol. 182. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, 1993, p. 304. isbn: 9780521446808.