Associahedron の構成

Associahedron の構成には, 様々なものが知られている。

• secondary polytope としての実現 [GZK89; GZK90]
• cluster complex としての構成 [CFZ02]
• Postnikov [Pos09] による単体の Minkowski 和としての構成
• Loday [Lod04] の構成とその Hohlweg と Lange [HL07] による一般化
• Carl Lee [Lee89] と Haiman (未出版) による多角形の diagonalization の成す poset の order complex としての実現

Ceballos と Ziegler [CZ] は, secondary polytope によるもの, cluster complex としてのもの, 単体の Minkowski 和によるもの, の\(3\)種類を比べ, それらがaffine同値にならないことを示している。

Pilaud とSantos [PS12] は, Hohlweg と Lange の構成 [HL07]を, 接点を持つ pseudoline arrangement と関連付けて brick polytope というものを用いて一般化している。更に Pilaud は Stump と共に [PS] brick polytope を一般化し, それが cluster complex の多面体による実現を与えることを示している。

Hohlweg と Lange の構成は, Shnider と Sternberg の構成 [SS93] の一般化である。そこに立ち返って spine を用いた構成を得ているのは, Lange と Pilaud [LP] である。

他には, marked nodal disk の moduli space の compactification によるものもある。Fukaya と Oh [FO97]によるらしい。Mau と Woodward の [MW] では, multiplihedron が類似の方法で構成されている。

References

[CFZ02]

Frédéric Chapoton, Sergey Fomin, and Andrei Zelevinsky. “Polytopal realizations of generalized associahedra”. In: Canad. Math. Bull. 45.4 (2002). Dedicated to Robert V. Moody, pp. 537–566. arXiv: math/0202004. url: http://dx.doi.org/10.4153/CMB-2002-054-1.

[CZ]

Cesar Ceballos and Günter M. Ziegler. Three non-equivalent realizations of the associahedron. arXiv: 1006.3487.

[FO97]

Kenji Fukaya and Yong-Geun Oh. “Zero-loop open strings in the cotangent bundle and Morse homotopy”. In: Asian J. Math. 1.1 (1997), pp. 96–180.

[GZK89]

I. M. Gel\('\)fand, A. V. Zelevinskiı̆, and M. M. Kapranov. “Newton polyhedra of principal \(A\)-determinants”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 308.1 (1989), pp. 20–23.

[GZK90]

I. M. Gel\('\)fand, A. V. Zelevinskiı̆, and M. M. Kapranov. “Discriminants of polynomials in several variables and triangulations of Newton polyhedra”. In: Algebra i Analiz 2.3 (1990), pp. 1–62.

[HL07]

Christophe Hohlweg and Carsten E. M. C. Lange. “Realizations of the associahedron and cyclohedron”. In: Discrete Comput. Geom. 37.4 (2007), pp. 517–543. arXiv: math/0510614. url: https://doi.org/10.1007/s00454-007-1319-6.

[Lee89]

Carl W. Lee. “The associahedron and triangulations of the \(n\)-gon”. In: European J. Combin. 10.6 (1989), pp. 551–560. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0195-6698(89)80072-1.

[Lod04]

Jean-Louis Loday. “Realization of the Stasheff polytope”. In: Arch. Math. (Basel) 83.3 (2004), pp. 267–278. arXiv: math/0212126. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00013-004-1026-y.

[LP]

Carsten Lange and Vincent Pilaud. Using spines to revisit a construction of the associahedron. arXiv: 1307.4391.

[MW]

S. Mau and C. Woodward. Geometric realizations of the multiplihedron and its complexification. arXiv: 0802.2120.

[Pos09]

Alexander Postnikov. “Permutohedra, associahedra, and beyond”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 6 (2009), pp. 1026–1106. arXiv: math/0507163.

[PS]

Vincent Pilaud and Christian Stump. Brick polytopes of spherical subword complexes and generalized associahedra. arXiv: 1111.3349.

[PS12]

Vincent Pilaud and Francisco Santos. “The brick polytope of a sorting network”. In: European J. Combin. 33.4 (2012), pp. 632–662. arXiv: 1103.2731. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ejc.2011.12.003.

[SS93]

Steven Shnider and Shlomo Sternberg. Quantum groups. Graduate Texts in Mathematical Physics, II. From coalgebras to Drinfel\('\)d algebras, A guided tour. Cambridge, MA: International Press, 1993, pp. xxii+496. isbn: 1-57146-000-4.