MacMahon Master Theorem

MacMahon Master Theorem については, Etingof と Pak の [EP08] の Introduction を読むと, 概略がつかめるかもしれない。MacMahon の本 [Mac04] で登場したようである。他に, 基礎となる文献としては, Cartier と Foata の [CF69] を上げるべきだろうか。

• Cartier-Foata monoid

Online version が ここから download できる。その最後 の appendix で Krattenthaler が Viennot の “heap of pieces” [Vie86] との関係を述べている。

様々な一般化が考えられている。

• \(\beta \)-extended MacMahon Master Theorem (Foata と Zeilberger [FZ88])
• quantum MacMahon Master Theorem (Garoufalidis と Le と Zeilberger [GLZ06])

Quantum MacMahon Master Theorem の Koszul algebra を用いた別証, そして一般化を Hai と Lorenz が [HL] で与えている。

Etingof と Pak [EP08] は Hai と Lorenz の結果に基づいた algebraic extension を証明している。

References

[CF69]

P. Cartier and D. Foata. Problèmes combinatoires de commutation et réarrangements. Lecture Notes in Mathematics, No. 85. Berlin: Springer-Verlag, 1969, pp. iv+88.

[EP08]

Pavel Etingof and Igor Pak. “An algebraic extension of the MacMahon master theorem”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 136.7 (2008), pp. 2279–2288. arXiv: math/0608005. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-08-09017-5.

[FZ88]

Dominique Foata and Doron Zeilberger. “Laguerre polynomials, weighted derangements, and positivity”. In: SIAM J. Discrete Math. 1.4 (1988), pp. 425–433. url: http://dx.doi.org/10.1137/0401043.

[GLZ06]

Stavros Garoufalidis, Thang T. Q. Lê, and Doron Zeilberger. “The quantum MacMahon master theorem”. In: Proc. Natl. Acad. Sci. USA 103.38 (2006), 13928–13931 (electronic). arXiv: math/0303319. url: http://dx.doi.org/10.1073/pnas.0606003103.

[HL]

Phung Ho Hai and Martin Lorenz. Koszul algebras and the quantum MacMahon Master Theorem. arXiv: math/0603169.

[Mac04]

Percy A. MacMahon. Combinatory analysis. Vol. I, II (bound in one volume). Dover Phoenix Editions. Reprint of ıt An introduction to combinatory analysis (1920) and ıt Combinatory analysis. Vol. I, II (1915, 1916). Mineola, NY: Dover Publications Inc., 2004, pp. ii+761. isbn: 0-486-49586-8.

[Vie86]

Gérard Xavier Viennot. “Heaps of pieces. I. Basic definitions and combinatorial lemmas”. In: Combinatoire énumérative (Montreal, Que., 1985/Quebec, Que., 1985). Vol. 1234. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1986, pp. 321–350. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0072524.