Hopf algebra や bialgebra の (コ)ホモロジー

Hopf algebra や bialgebra に対しては, その coproduct を忘れて algebra とみなすことにより, Hochschild homology のような associative algebra の (co)homology を定義することができる。 逆に, product を忘れて coalgebra の (co)homology を考えることもできる。 もちろん, 忘れてしまうだけだと, その Hopf algebra としての情報を失なってしまうわけだが, 元の Hopf algebra の構造を用いると, その (co)homology に興味深い構造が定義できたりする。 例えば, mapping class group の作用 [Shi20] など。

もちろん, Hopf algebra や bialgebra を用いて定義されている homology や cohomology も色々定義されている。例えば, 以下のようなものがある。

• Sweedler の cocommutative Hopf algebra の cohomology [Swe68]
• Gerstenhaber-Schack cohomology [GS90; GS92]
• Majid [Maj94] や Nuss と Wambst [NW07] の non-Abelian cohomology
• Hopf-cyclic cohomology とその一般化
• Bichon と Kassel の lazy homology [BK10]
• Batista, Mortari, Teixeira [BMT19] による Hopf algebra の partial action に対する cohomology theory

References

[BK10]

Julien Bichon and Christian Kassel. “The lazy homology of a Hopf algebra”. In: J. Algebra 323.9 (2010), pp. 2556–2590. arXiv: 0807. 1651. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.12.032.

[BMT19]

Eliezer Batista, Alda D. M. Mortari, and Mateus M. Teixeira. “Cohomology for partial actions of Hopf algebras”. In: J. Algebra 528 (2019), pp. 339–380. arXiv: 1709 . 03910. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2019.03.013.

[GS90]

Murray Gerstenhaber and Samuel D. Schack. “Bialgebra cohomology, deformations, and quantum groups”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 87.1 (1990), pp. 478–481. url: http://dx.doi.org/10.1073/pnas.87.1.478.

[GS92]

Murray Gerstenhaber and Samuel D. Schack. “Algebras, bialgebras, quantum groups, and algebraic deformations”. In: Deformation theory and quantum groups with applications to mathematical physics (Amherst, MA, 1990). Vol. 134. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1992, pp. 51–92. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/134/1187279.

[Maj94]

S. Majid. “Cross product quantisation, nonabelian cohomology and twisting of Hopf algebras”. In: Generalized symmetries in physics (Clausthal, 1993). World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1994, pp. 13–41. arXiv: hep-th/9311184.

[NW07]

Philippe Nuss and Marc Wambst. “Non-abelian Hopf cohomology”. In: J. Algebra 312.2 (2007), pp. 733–754. arXiv: math/0511712. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.10.005.

[Shi20]

Kenichi Shimizu. “Further results on the structure of (co)ends in finite tensor categories”. In: Appl. Categ. Structures 28.2 (2020), pp. 237–286. arXiv: 1801.02493. url: https://doi.org/10.1007/s10485-019-09577-7.

[Swe68]

Moss Eisenberg Sweedler. “Cohomology of algebras over Hopf algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 133 (1968), pp. 205–239. url: https://doi.org/10.2307/1994939.