Uniform Spaces

距離空間の間の写像としては, 連続写像の他に一様連続写像を考えることもできる。 逆も一様連続であるものを uniform homeomorphism という。 更に, 距離の uniform homeomorphism による同値類を考えることにより, uniformity という構造を考えることができる。 それを抽象化して uniform space の概念を得る。 位相空間のように, 距離空間から得られないものも色々ある。

• uniform space

Uniform space については, まず Melikhov の [Mel] を見るとよい。 特にその section 2 に文献が色々挙げられているので, 有用である。 それによると, まじめに勉強するなら Isbell の本 [Isb64] と Bourbaki [Bou98a; Bou98b] の Chapters II, IX, X を読むべきのようである。

歴史的なことについては, Bentley, Herrlich, Hušek の [BHH98] が挙げられている。 Künzi の survey [Kün07] もある。Algebraic topologist が書いたものとしては, James の [Jam87; Jam90] もある。

ホモトピー論を考えたものとしては, Krishnan と Ogle の [KO24] がある。Lipschitz 連続性を考えた Lipschitz homotopy category も導入している。

• uniform homotopy category
• Lipschitz homotopy category

References

[BHH98]

H. L. Bentley, H. Herrlich, and M. Hušek. “The historical development of uniform, proximal, and nearness concepts in topology”. In: Handbook of the history of general topology, Vol. 2 (San Antonio, TX, 1993). Vol. 2. Hist. Topol. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998, pp. 577–629.

[Bou98a]

Nicolas Bourbaki. General topology. Chapters 1–4. Elements of Mathematics (Berlin). Translated from the French, Reprint of the 1989 English translation. Berlin: Springer-Verlag, 1998, pp. vii+437. isbn: 3-540-64241-2.

[Bou98b]

Nicolas Bourbaki. General topology. Chapters 5–10. Elements of Mathematics (Berlin). Translated from the French, Reprint of the 1989 English translation. Berlin: Springer-Verlag, 1998, pp. iv+363. isbn: 3-540-64563-2.

[Isb64]

J. R. Isbell. Uniform spaces. Mathematical Surveys, No. 12. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1964, pp. xi+175.

[Jam87]

I. M. James. Topological and uniform spaces. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1987, pp. x+163. isbn: 0-387-96466-5. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4716-6.

[Jam90]

I. M. James. Introduction to uniform spaces. Vol. 144. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, 1990, pp. vi+148. isbn: 0-521-38620-9. url: https://doi.org/10.1017/CBO9780511721519.

[KO24]

Sanjeevi Krishnan and Crichton Ogle. “The uniform homotopy category”. In: J. Pure Appl. Algebra 228.1 (2024), Paper No. 107425, 50. arXiv: 2109.08576. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2023.107425.

[Kün07]

Hans-Peter A. Künzi. “Uniform structures in the beginning of the third millenium”. In: Topology Appl. 154.14 (2007), pp. 2745–2756. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2007.05.008.

[Mel]

Sergey A. Melikhov. Metrizable uniform spaces. arXiv: 1106.3249.