q-Matroids and q-Polymatroids

Jurrius と Pellikaan [JP18] は matroid の \(q\)-analogue として, \(q\)-matroid の概念を導入している。Jurrius は, Gorla, López, Ravagnani と共に [Gor+20] で, polymatroid の \(q\)-analogue である \(q\)-polymatroid も導入している。

• \(q\)-polymatroid

基本的なアイデアは, matroid の定義で, 有限集合を \(\F _{q}\) 上の有限次元ベクトル空間に置き換えることであるが, Ghorpade ら [GPR22] によると, そのようなものは, Crapo [Cra64] や Terwilliger [Ter96] によっても考えられていたようである。

公理としては, Ceria と Jurrius により [CJ24] で考えられているものもある。出版されたものは間違いがあったようであるが, arXiv 版では修正されている。

\(q\)-matroid の間の写像は, Gluesing-Luerssen と Jany の [GJ23] で考えられている。様々な種類の写像が定義されているので, それにより様々な \(q\)-matroid の category ができることになる。 ただ, その中で coproduct を持つのは一つだけのようであるが。

Ghorpade [GPR22] らは \(q\)-matroid の定義に動機を得て, abstract simplicial complex の \(q\)-analogue を定義している。

• \(q\)-simplicial complex

通常の matroid と直截関係付けることは, Johnsen, Pratihar, Verdur [JPV23] により考えられている。彼等は, \(q\)-matroid から matroid を構成する方法を考え projectivization と名付けている。

• projectivization matroid

Jany [Jan23] は projectivization は functor になることを示している。

References

[CJ24]

Michela Ceria and Relinde Jurrius. “Alternatives for the \(q\)-matroid axioms of independent spaces, bases, and spanning spaces”. In: Adv. in Appl. Math. 153 (2024), Paper No. 102632, 18. arXiv: 2207.07324. url: https://doi.org/10.1016/j.aam.2023.102632.

[Cra64]

Henry H. Crapo. “On the Theory of Combinatorial independence”. PhD thesis. Massachusetts Institute of Technology, 1964. url: https://hdl.handle.net/1721.1/138650.

[GJ23]

Heide Gluesing-Luerssen and Benjamin Jany. “Coproducts in categories of \(q\)-matroids”. In: European J. Combin. 112 (2023), Paper No. 103733, 20. arXiv: 2111.09723. url: https://doi.org/10.1016/j.ejc.2023.103733.

[Gor+20]

Elisa Gorla, Relinde Jurrius, Hiram H. López, and Alberto Ravagnani. “Rank-metric codes and \(q\)-polymatroids”. In: J. Algebraic Combin. 52.1 (2020), pp. 1–19. arXiv: 1803.10844. url: https://doi.org/10.1007/s10801-019-00889-4.

[GPR22]

Sudhir R. Ghorpade, Rakhi Pratihar, and Tovohery H. Randrianarisoa. “Shellability and homology of \(q\)-complexes and \(q\)-matroids”. In: J. Algebraic Combin. 56.4 (2022), pp. 1135–1162. arXiv: 2102.13102. url: https://doi.org/10.1007/s10801-022-01150-1.

[Jan23]

Benjamin Jany. “The projectivization matroid of a \(q\)-matroid”. In: SIAM J. Appl. Algebra Geom. 7.2 (2023), pp. 386–413. arXiv: 2204.01232. url: https://doi.org/10.1137/22M1494567.

[JP18]

Relinde Jurrius and Ruud Pellikaan. “Defining the \(q\)-analogue of a matroid”. In: Electron. J. Combin. 25.3 (2018), Paper No. 3.2, 32. arXiv: 1610.09250. url: https://doi.org/10.37236/6569.

[JPV23]

Trygve Johnsen, Rakhi Pratihar, and Hugues Verdure. “Weight spectra of Gabidulin rank-metric codes and Betti numbers”. In: São Paulo J. Math. Sci. 17.1 (2023), pp. 208–241. arXiv: 2106.10993. url: https://doi.org/10.1007/s40863-022-00314-y.

[Ter96]

Paul Terwilliger. “Quantum matroids”. In: Progress in algebraic combinatorics (Fukuoka, 1993). Vol. 24. Adv. Stud. Pure Math. Math. Soc. Japan, Tokyo, 1996, pp. 323–441. url: https://doi.org/10.2969/aspm/02410323.