Rigidity of Enhancements of Triangulated Categories

ある triangulated cateogry が二つの enhancement を持つときに, それらが「同値」になるか, というのは, 誰でも考えたくなる問題である。

これについては, Canonaco と Neeman と Stellari の短かい survey [CNS] がある。 Canonaco と Stellari は dg category による enhancement の場合 [CS17] という survey も書いている。

Dg category による enhancement を持つ triangulated category を algebraic というが, algebraic でない triangulated category の典型的な例は, spectrum の stable homotopy category である。 そのような場合は, stable model category による enhancement を考える。

そして, enhancement の uniqueness は, ある triangulated category が二つ の stable model category の homotopy category として表されたとき, それらの model category が Quillen 同値になるか, という問題になる。 Schwede [Sch01; Sch07] はそのようなときに rigid という言葉を使っている。そうでないときは, exotic という表現を使っている。

Schwede は, [Sch07] で spectrum の stable homotopy category が rigid であることを示している。 Patchkoria は, [Pat16] で, 有限群 \(G\) に対し \(2\)-local \(G\)-equivariant stable homotopy category が rigid であることを示している。

一方で \(E(n)\) で局所化すると rigid ではないことも知られている。 Patchkoria と Pstragowski [PP] は \(p\)-local \(E(n)\)-local spectrum の stable homotopy category \(L_{n}\category {Sp}_{(p)}\) は, \(2p-2>n^{2}+n\) のときに algebraic になることを示している。よって, rigid ではない。

\(2\)-local \(E(1)\)-local spectrum の category \(L_{1}\category {Sp}_{(2)}\) [Roi07] や \(2\)-local \(K(1)\)-local spectrum の category \(L_{K(1)}\category {Sp}_{(2)}\) [Ish19] は rigid であることが知られている。

このような triangulate category は monoidal triangulated category (tensor triangulated category) になっていることが多いので, Balchin, Roitzheim, Williamson [BRW] は tensor triangular rigidity について考えている。

Dg category や stable model category 以外では, Antieau [Ant] により stable \(\infty \)-category の場合が考えられている。

References

[Ant]

Benjamin Antieau. On the uniqueness of infinity-categorical enhancements of triangulated categories. arXiv: 1812.01526.

[BRW]

Scott Balchin, Constanze Roitzheim, and Jordan Williamson. Tensor-triangular rigidity in chromatic homotopy theory. arXiv: 2302. 12134.

[CNS]

Alberto Canonaco, Amnon Nemman, and Paolo Stellari. Uniqueness of enhancements of triangulated categories. url: https://sites.unimi.it/stellari/Research/Papers/zag.pdf.

[CS17]

Alberto Canonaco and Paolo Stellari. “A tour about existence and uniqueness of dg enhancements and lifts”. In: J. Geom. Phys. 122 (2017), pp. 28–52. arXiv: 1605.00490. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2016.11.030.

[Ish19]

Jocelyne Ishak. “Rigidity of the \(K(1)\)-local stable homotopy category”. In: Homology Homotopy Appl. 21.2 (2019), pp. 261–278. arXiv: 1807. 03175. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2019.v21.n2.a14.

[Pat16]

Irakli Patchkoria. “Rigidity in equivariant stable homotopy theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 16.4 (2016), pp. 2159–2227. arXiv: 1403.5191. url: https://doi.org/10.2140/agt.2016.16.2159.

[PP]

Irakli Patchkoria and Piotr Pstrągowski. Adams spectral sequences and Franke’s algebraicity conjecture. arXiv: 2110.03669.

[Roi07]

Constanze Roitzheim. “Rigidity and exotic models for the \(K\)-local stable homotopy category”. In: Geom. Topol. 11 (2007), pp. 1855–1886. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2007.11.1855.

[Sch01]

Stefan Schwede. “The stable homotopy category has a unique model at the prime 2”. In: Adv. Math. 164.1 (2001), pp. 24–40. url: https://doi.org/10.1006/aima.2001.2009.

[Sch07]

Stefan Schwede. “The stable homotopy category is rigid”. In: Ann. of Math. (2) 166.3 (2007), pp. 837–863. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2007.166.837.