順序数と超限帰納法

順序集合は, 集合論では, ordinal や cardinal として基本的で重要な概念となっている。

• 超限帰納法 (transfinite induction)
• ordinal
• limit ordinal
• cardinal
• cardinality

Ordinal や transfinite induction については, 学部の授業で扱われることは少ないだろう。代数的トポロジーでは, model category の理論を勉強するときに必要になるが, そのときになって勉強すればよいと思う。

Model category の教科書と言える本としては, Hovey の本 [Hov99] と Hirschhorn の本 [Hir03] があるが, Hirschhorn の本には [Cie97; Dug78; Ham82] の三冊が参考文献として挙げられている。ただし, Ciesielski の本はあまり ordinal には詳しくない。例えば limit ordinal については触れていない。Transfinite induction の入門としては十分であるが。Hovey の本では, [Jec78] が挙げてある。

ある category での 順序集合で index された object の族の limit や colimit を考える際には cofinality の概念が重要である。

• cofinal subset of poset

\(P\) の cofinal subset の cardinality の最小値を \(P\) の cofinality と呼ぶが, その cofinality が自分自身と一致するような無限 cardinal を regular cardinal と呼ぶ。 例えば \(\aleph _{0}\) は regular cardinal である。 Locally presentable category の定義などで必要になる。

• cofinality
• locally presentable category

References

[Cie97]

Krzysztof Ciesielski. Set theory for the working mathematician. Vol. 39. London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press, Cambridge, 1997, pp. xii+236. isbn: 0-521-59441-3; 0-521-59465-0. url: https://doi.org/10.1017/CBO9781139173131.

[Dug78]

James Dugundji. Topology. Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., 1978, p. xv 447. isbn: 0-205-00271-4.

[Ham82]

A. G. Hamilton. Numbers, sets and axioms. Cambridge: Cambridge University Press, 1982, p. ix 255. isbn: 0-521-24509-5; 0-521-28761-8.

[Hir03]

Philip S. Hirschhorn. Model categories and their localizations. Vol. 99. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003, pp. xvi+457. isbn: 0-8218-3279-4. url: https://doi.org/10.1090/surv/099.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[Jec78]

Thomas Jech. Set theory. Pure and Applied Mathematics. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1978, pp. xi+621. isbn: 0-12-381950-4.