Cyclic Sieving Phenomenon and Related Topics

Reiner, Stanton, White [RSW04] は, 巡回群 \(C_{n}=\langle c\rangle \) が有限集合へ作用するとき, \(c^{d}\) の fixed point set の元の個数は, 多項式に\(1\)の巾根の \(d\) 乗を代入したもので表されることがあることを発見した。 そのとき cyclic sieving phenomenon を exhibit するという。

様々な場合に cyclic sieving phenomenon が exhibit されている。Rhoades [Rho10] による plane partition の場合や, Bessiss と Reiner [BR11] や Krattenthaler と Müller [KM13; KM] による noncrossing partition の場合など。 他にも色々ある。

一般化としては, 巡回群2つの直積の場合が, Bercelo, Reiner, Stanton [BRS08] により bicyclic sieving phenomenon として考えられている。任意の有限個の直積の場合は, Berget, Eu, Reiner [BER11] により考えられている。 また, dihedral group の場合が, dihedral sieving phenomenon として Rao と Suk [RS20] により導入されている。

• dihedral sieving phenomenon

References

[BER11]

Andrew Berget, Sen-Peng Eu, and Victor Reiner. “Constructions for cyclic sieving phenomena”. In: SIAM J. Discrete Math. 25.3 (2011), pp. 1297–1314. arXiv: 1004 . 0747. url: https://doi.org/10.1137/100803596.

[BR11]

David Bessis and Victor Reiner. “Cyclic sieving of noncrossing partitions for complex reflection groups”. In: Ann. Comb. 15.2 (2011), pp. 197–222. arXiv: math/0701792. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00026-011-0090-9.

[BRS08]

Hélène Barcelo, Victor Reiner, and Dennis Stanton. “Bimahonian distributions”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 77.3 (2008), pp. 627–646. arXiv: math / 0703479. url: http://dx.doi.org/10.1112/jlms/jdn004.

[KM]

Christian Krattenthaler and Thomas W. Müller. Cyclic sieving for generalised non-crossing partitions associated to complex reflection groups of exceptional type - the details. arXiv: 1001.0030.

[KM13]

Christian Krattenthaler and Thomas W. Müller. “Cyclic sieving for generalised non-crossing partitions associated with complex reflection groups of exceptional type”. In: Advances in combinatorics. Springer, Heidelberg, 2013, pp. 209–247. arXiv: 1001.0028.

[Rho10]

Brendon Rhoades. “Cyclic sieving, promotion, and representation theory”. In: J. Combin. Theory Ser. A 117.1 (2010), pp. 38–76. arXiv: 1005.2568. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2009.03.017.

[RS20]

Sujit Rao and Joe Suk. “Dihedral sieving phenomena”. In: Discrete Math. 343.6 (2020), pp. 111849, 12. arXiv: 1710 . 06517. url: https://doi.org/10.1016/j.disc.2020.111849.

[RSW04]

V. Reiner, D. Stanton, and D. White. “The cyclic sieving phenomenon”. In: J. Combin. Theory Ser. A 108.1 (2004), pp. 17–50. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2004.04.009.