Simple Homotopy Theory

単体的複体のホモトピー型を扱うときに, 最も分りやすいのは, “一番外側の面”を持つ単体を潰すことによる deformation retract である。その操作 (elementary collapse) を同値関係に拡張することにより, 単体的複体の simple homotopy type が定義される。 PL多様体のトポロジーで考えられたものであるが, 最近は combinatorial algebraic topology でよく使われる。 組み合せ論的問題では, 具体的な algorithm が重要なので, ホモトピー同値や弱ホモトピー同値などより, simple homotopy 同値の方が有用なのである。よって Kozlov の本 [Koz08] にも記述がある。 1ページだけであるが。 Ehrenborg と Hetyei [EH06] によると, この分野で simple homotopy を最初に使ったのは, Kalai [Kal83] のようである。

• elementary collapse
• collapse と expansion

Simple homotopy theory については, M. Cohen の本 [Coh73] がある。他にもあると思うがよく知らない。 Kozlov の論文 [Koz06] には, simple homotopy type が細分で変わらないということの証明がある。Kozlov の本 [Koz08] にもあるが。

1点と simple homotopy 同値な単体的複体を collapsible というが, 多様体の collapsibility については, Adiprasito, Benedetti, Lutz の [ABL17] の Introduction に文献を挙げてまとめられている。彼等は, random discrete Morse theory を用いて, 5次元の simplicial manifold で, collapsible であるが5次元球体と同相ではないものを発見することに成功している。

上記以外では, Barmak と Minian により, finite space の研究に使われている。彼等は [BM12] で strong homotopy の概念を導入し, finite space のホモトピー同値や simplicial complex の non-evasiveness との関係を調べている。

• elementary strong collapse
• \(n\)-collapse
• non-evasive simplicial complex

Simple homotopy type を調べるための方法として, Benedetti ら [Ben+] の 単体分割を randomize する方法 もある。

• random simple homotopy theory

Simple homotopy equivalence のための obstruction は Whitehead group [Whi50] に属する Whitehead torsion で測られる。

• Whitehead group
• Whitehead torsion

Whitehead group は algebraic \(K\)-theory (\(K_{1}\)) の起源の一つとなったものであるが, その高次版は既に Hatcher により [Hat75] で導入されている。

References

[ABL17]

Karim A. Adiprasito, Bruno Benedetti, and Frank H. Lutz. “Extremal examples of collapsible complexes and random discrete Morse theory”. In: Discrete Comput. Geom. 57.4 (2017), pp. 824–853. arXiv: 1404. 4239. url: https://doi.org/10.1007/s00454-017-9860-4.

[Ben+]

Bruno Benedetti, Crystal Lai, Davide Lofano, and Frank H. Lutz. Random Simple-Homotopy Theory. arXiv: 2107.09862.

[BM12]

Jonathan Ariel Barmak and Elias Gabriel Minian. “Strong homotopy types, nerves and collapses”. In: Discrete Comput. Geom. 47.2 (2012), pp. 301–328. arXiv: 0907 . 2954. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-011-9357-5.

[Coh73]

Marshall M. Cohen. A course in simple-homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 10. New York: Springer-Verlag, 1973, pp. x+144.

[EH06]

Richard Ehrenborg and Gábor Hetyei. “The topology of the independence complex”. In: European J. Combin. 27.6 (2006), pp. 906–923. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ejc.2005.04.010.

[Hat75]

A. E. Hatcher. “Higher simple homotopy theory”. In: Ann. of Math. (2) 102.1 (1975), pp. 101–137. url: https://doi.org/10.2307/1970977.

[Kal83]

Gil Kalai. “Enumeration of \(\Q \)-acyclic simplicial complexes”. In: Israel J. Math. 45.4 (1983), pp. 337–351. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02804017.

[Koz06]

Dmitry N. Kozlov. “Simple homotopy types of Hom-complexes, neighborhood complexes, Lovász complexes, and atom crosscut complexes”. In: Topology Appl. 153.14 (2006), pp. 2445–2454. arXiv: math/0503613. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2005.09.005.

[Koz08]

Dmitry Kozlov. Combinatorial algebraic topology. Vol. 21. Algorithms and Computation in Mathematics. Berlin: Springer, 2008, pp. xx+389. isbn: 978-3-540-71961-8. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5.

[Whi50]

J. H. C. Whitehead. “Simple homotopy types”. In: Amer. J. Math. 72 (1950), pp. 1–57. url: https://doi.org/10.2307/2372133.