Simplicial Complexes Constructed from Quivers

グラフからは, 様々な方法で simplicial complex が定義されるが, 当然有向グラフすなわち quiver からも simplicial complex を定義する方法も色々考えられている。

例えば, Turner と Wigner の [TW12] や Favero と Huang の [FH25] では, path の集合から poset, よって simplicial complex が定義されている。

Turner と Wigner のものは, disjoint な path の族の集合の成す poset であり, Favero と Huang のものは, 1本の path から成る poset であるが。 共に, path poset と呼ばれているが, まぎらわしいので, Caputi らの [CCD24] のように, Turner と Wigner のものは multipath poset と呼ぶべきだろう。 対応する simplicial complex は multipath complex と呼ばれる。

• path poset
• multipath poset
• multipath complex

Caputi ら [Cap+24] は, いくつかの quiver について multipath complex の Euler 標数やホモトピー型を調べている。

Palu, Pilaud, Plamondon の [PPP21] では, 次が挙げられている。

• non-kissing complex
• support \(\tau \)-tilting complex

Support \(\tau \)-tilting complex は, quiver の path algebra の support \(\tau \)-tilting module [AIR14] から定義されるものである。

Bustamante [Bus04] による bound quiver の分類空間も quiver から定義される複体のようなものである。

• classifying space of bound quiver

他にも以下のような simplicial complex が quiver から定義される。

• directed Hom complex [DS23]
• directed clique complex or directed flag complex [MV]
• directed neighborhood complex [DS23]
• path-free complex and path-missing complex [GKL]

Simplicial complex が定義できると, ホモロジーなどのホモトピー不変量を調べることができる。

• homology theories of quivers

References

[AIR14]

Takahide Adachi, Osamu Iyama, and Idun Reiten. “\(\tau \)-tilting theory”. In: Compos. Math. 150.3 (2014), pp. 415–452. arXiv: 1210.1036. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X13007422.

[Bus04]

Juan Carlos Bustamante. “The classifying space of a bound quiver”. In: J. Algebra 277.2 (2004), pp. 431–455. arXiv: math/0305338. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2004.02.024.

[Cap+24]

Luigi Caputi, Carlo Collari, Sabino Di Trani, and Jason P. Smith. “On the homotopy type of multipath complexes”. In: Mathematika 70.1 (2024), Paper No. e12235, 26. arXiv: 2208.04656. url: https://doi.org/10.1112/mtk.12235.

[CCD24]

Luigi Caputi, Carlo Collari, and Sabino Di Trani. “Multipath cohomology of directed graphs”. In: Algebr. Geom. Topol. 24.8 (2024), pp. 4373–4421. arXiv: 2108.02690. url: https://doi.org/10.2140/agt.2024.24.4373.

[DS23]

Anton Dochtermann and Anurag Singh. “Homomorphism complexes, reconfiguration, and homotopy for directed graphs”. In: European J. Combin. 110 (2023), Paper No. 103704, 31. arXiv: 2108.10948. url: https://doi.org/10.1016/j.ejc.2023.103704.

[FH25]

David Favero and Jesse Huang. “Homotopy path algebras”. In: Selecta Math. (N.S.) 31.2 (2025), Paper No. 25. arXiv: 2205.03730. url: https://doi.org/10.1007/s00029-025-01021-0.

[GKL]

Darij Grinberg, Lukas Katthän, and Joel Brewster Lewis. The path-missing and path-free complexes of a directed graph. arXiv: 2102.07894.

[MV]

Paolo Masulli and Alessandro E. P. Villa. The topology of the directed clique complex as a network invariant. arXiv: 1510.00660.

[PPP21]

Yann Palu, Vincent Pilaud, and Pierre-Guy Plamondon. “Non-kissing complexes and tau-tilting for gentle algebras”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 274.1343 (2021), pp. vii+110. arXiv: 1707.07574. url: https://doi.org/10.1090/memo/1343.

[TW12]

Paul Turner and Emmanuel Wagner. “The homology of digraphs as a generalization of Hochschild homology”. In: J. Algebra Appl. 11.2 (2012), pp. 1250031, 13. arXiv: 1001.5379. url: https://doi.org/10.1142/S0219498811005555.